堆排序学习总结

在学习《算法》一书中了解到：
优先队列是一种抽象的数据类型，优先队列最重要的操作就是删除最大元素和插入元素。
实现优先队列可以用数组，链表，最好的方式还是用堆。

我们可以把任意优先队列变成一种排序方法。将所有元素插入一个查找最小化元素的优先队列，然后再重复调用删除最小元素的操作将它们按顺序删去。用无序数组实现的优先队列这么做相当于进行一次选择排序。用基于堆得优先队列这样做等同于堆排序！

要了解堆首先得了解一下二叉树，在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。

二叉树又分为满二叉树（full binary tree） 和 完全二叉树（complete binary tree）

满二叉树：一棵深度为 k，且有 2k - 1 个节点称之为满二叉树

完全二叉树则满足序号和满二叉树的完全对应。

如下图，是一个堆和数组的相互关系

对于给定的某个结点的下标 i，可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标：

• Parent(i) = floor(i/2)，i 的父节点下标
• Left(i) = 2i，i 的左子节点下标
• Right(i) = 2i + 1，i 的右子节点下标

堆排序原理

堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出，将剩余的堆继续调整为最大堆，再次将堆顶的最大数取出，这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作：

最大堆调整（Max-Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点(左子树不一定大于右子树)
创建最大堆（Build-Max-Heap）：将堆所有数据重新排序，使其成为最大堆
堆排序（Heap-Sort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

继续进行下面的讨论前，需要注意的一个问题是：数组都是 Zero-Based，这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变

相应的，几个计算公式也要作出相应调整：

Parent(i) = floor((i-1)/2)，i 的父节点下标
Left(i) = 2i + 1，i 的左子节点下标
Right(i) = 2(i + 1)，i 的右子节点下标

最大堆调整（MAX‐HEAPIFY）的作用是保持最大堆的性质，是创建最大堆的核心子程序，作用过程如图所示：

源码如下：

def heapsort(arr):
    def max_heapify(arr, index, heap_size):
        """
        # 最大堆调整（MAX‐HEAPIFY）的作用是保持最大堆的性质。 将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
        # 意思就是要让index这元素去到它该去的位置
        《算法》P200
        由上至下的对有序化（下沉）
        如果我们把堆想象成一个严密的黑色会组织，每个子节点都表示一个下属（父节点则表示它的直接上级），name这些操作就可以得到很有趣的解释。
        max_hepify这个方法就相当于一个领导，如果占着老大的位置，但如果自己下属有比自己厉害的就要退位让贤。自己去到该去的层次

        注意的是：这方法是有惰性的。调用一次该方法仍然不行。如果该index的左右子树都小于自己的话，它就不会递归了。
        这个方法只是让index尽量下沉下去。如果是堆有序的话，那么执行该方法后index位置就是该位置最大的值
        """

        while True:
            imax = index
            ileft = 2 * index + 1
            iright = 2 * index + 2

            if ileft < heap_size and arr[index] < arr[ileft]:
                imax = ileft

            if iright < heap_size and arr[imax] < arr[iright]:
                imax = iright

            if imax != index:
                arr[imax], arr[index] = arr[index], arr[imax]
                index = imax
            else:
                break

    def build_maxheap(arr):
        """
        # 将堆所有数据重新排序，使其成为最大堆

        创建最大堆（Build-Max-Heap）的作用是将一个数组改造成一个最大堆，接受数组和堆大小两个参数，Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组，建立最大堆。
        因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。
        如果最大堆的数量元素是 n，那么 Build-Max-Heap 从 Parent(n) 开始，往上依次调用 Max-Heapify。
        """

        iparent = len(arr) // 2 - 1   # 最后一个节点的父节点
        for i in range(iparent, -1, -1):
            max_heapify(arr, i, len(arr))

    def sort(arr):
        build_maxheap(arr)  # build后左子树 还是可能大于 右子树的.所以这并不是一个有序数组
        print(arr)
        for i in range(len(arr)-1, 0, -1):
            arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]

            max_heapify(arr, 0, i)  # 这里这个i 相当于比当前的length - 1；第i个元素为当前最大的元素，就被固定死了。不再访问它
        return arr

    return sort(arr)



if __name__ == '__main__':

    print(heapsort([5,4,7,3,8,2,11,15,17,16,13,10,9,12,1]))